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SÉRIES À VALEURS DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ
Sachant que la suite (J,+ 00 f(t)dt)
converge lentement vers 0, on obtient
n
nEN*
puis
Ainsi,
1:+~ f(t)dt <
Rn
< 1
1: 00 f(t)dt - 1: 00 f(t)dt - '
1 .
Rn
1
lm
= .
n-++oo 1:00 f(t)dt
1
+00
Rn "' n
J(t)dt.
Nous reprenons les notations de la proposition précédente.
Corollaire 15. 7 (Séries de Riemann.) Soit a un nombre réel. La série de
Riemann
+oo 1
Lna
n=l
converge si et seulement si a > 1. De plus,
1. Si a E)O, 1[,
2. Si a= 1,
3. Si a> 1,
nl-a
Sn rv - - .
1-a
Sn"' Inn.
1
Rn"'(
)
1 .
a-1 n°Preuve. Si a est un réel négatif ou nul, le terme général de la série ne converge pas
vers O. La série est divergente. Si a est strictement positif, l'application t t--t t~ est
continue et décroissante sur [1, +oo[. Les hypothèses de la proposition précédente
sont vérifiées.
1. Si a= 1,
r dt= Inn.
11 t
L'intégrale et la série sont divergentes et
Sn"' Inn.
Si a est un réel strictement positif et différent de 1,
nl-a -1
1-a ·