15.2. CONVERGENCE DES SÉRIES À TERMES RÉELS POSITIFS
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et (Sn)neN• la suite des sommes partielles :
n
Vn 2 1, Sn= Lf(k).
k=l
Nous avons la relation
Vn 2 1, Sn =Un+ F(n).
La suite (un)neN• étant convergente, les suites (Sn)neN• et (F(n))neN• sont
de même nature.
(a) Supposons l'intégrale Jtx' f(t)dt convergente. L'application F admet
une limite finie en +oo. La suite (F(n))neN• est convergente. Il en est
de même de la suite (Sn)neN• et de la série En~l f(n).
(b) Supposons la série En>l f(n) convergente. La suite (Sn)neN• étant
convergente, la suite (F(n))neN• l'est aussi. Notons M un majorant
de cette dernière. L'application f étant positive,
r
{E(x)+l
"lx E [1, +oo[, 11 f(t)dt::::; 11
f(t)dt = F (E(x) + 1) ::::; M.
Il suffit d'utiliser la proposition 14.5, page 218 pour établir la convergence de l'intégrale Jt'
0 f(t)dt.
3. Supposons la série En>l f(n) divergente. Cette série étant à termes positifs,
la suite (Sn)neN• tend-vers +oo lorsque n tend vers +oo. D'autre part, la
suite (Sn - F(n))neN• est convergente puisque la suite (un)neN• l'est. Ainsi,
lim Sn - F(n) =O.
n-++oo
Sn
On en déduit que (Sn - F(n)) = o(Sn) et Sn"" F(n).
4. Nous avons établi au début de la preuve que
fk+l
Vk 2 1, f(k + 1) ::::; lk f(t)dt::::; f(k).
Donc,
Vk;::: 2,
fk+l f(t)dt::::; f(k)::::; fk f(t)dt.
lk
lk-1
Soit n un entier strictement positif. D'après la double inégalité précédente,
D'après l'hypothèse, ces trois suites de variable N sont convergentes. En
passant à la limite, on obtient
1 +00
1+00
f(t)dt ::::; Rn ::::;
f(t)dt.
n+l
n