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SÉRIES À VALEURS DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ
Proposition 15.6 Soit f : [1, +oo[-t JR+ une fonction continue par morceaux,
décroissante sur [1,+oo[. Soit (un)nEl\I*, la suite définie par
\ln EN*, Un = f(l) + /(2) + · · · + f(n) - ln f(t)dt.
Alors,
1. La suite ( un)nEN* est convergente.
2. La série Ln?:l f(n) et l'intégrale Jt"' f(t)dt sont de même nature.
3. Si l'intégrale Jt'° f(t)dt diverge, on a Sn = L:~=l f(k) ,..,,, J; f(t)dt.
4. Si l'intégrale Jtxi f(t)dt est convergente et si la convergence de la suite
( J,+
00 f(t)dt)
est lente, alors Rn = L:t;.+1 f(k) ,..,,, J,+
00 f(t)dt.
n
nEl\I*
n
Remarques 15.2
1. On pourra trouver les différentes définitions de vitesse de
convergence d'une suite au début du chapitre 11, page 147.
2. On peut remarquer que le résultat du 4 tombe en défaut si la vitesse de
convergence de la suite (J,+
00 f(t)dt)
n'est pas lente. On peut considérer
n
nEN*
par exemple l'application t f-+ e-t.
Preuve.
1. L'application f étant décroissante, nous avons,
\/k 2:: 1, \/t E [k, k + l], f(k + 1) :s; f(t) :s; f(k),
d'où,
rk+l
\/k 2:: 1, f(k + 1) ::; Jk f(t)dt ::; f(k).
Nous en déduisons que
\ln 2:: 2, Un=~ (f(k) -1k+l f(t)dt) + f(n) 2:: O.
De plus,
1
n+l
\ln EN, Un+l - Un = f(n + 1) - n f(t)dt::; O.
La suite (un)nEN* est décroissante et minorée donc convergente.
2. On considère l'application F définie par
F : [1, +oo[ -----t JR+
X
t-----t
ft f ( t )dt