15.2. CONVERGENCE DES SÉRIES À TERMES RÉELS POSITIFS
241
La série L:: lun - u~I est convergente. Notons (R~)nelll la suite de ses restes :
+oo
Vn EN, R~ = L
luk -u~lk=n+1
Pour tout entier naturel n,
VN > n, 1 t (uk - u~)I ~ t luk - u~lk=n+1
k=n+l
En passant à la limite, on obtient
Vn EN, IRn - R~I ~ R~.
D'après la proposition précédente, nous avons
R~ = o(R'n).
Donc,
Ve > 0, 3no, Vn 2:: no, IRn - R~I ~ R~ ~ eR~.
On en déduit que (Rn - R~) = o(R~), ainsi
3. Supposons les deux séries divergentes.
(a) Supposons la suite (Sn-S~)nelll divergente. Nous savons que lun-u~I =
o(u~) et d'après la proposition précédente S~ = o(S~) où
n
VnEN, S~= Liuk-u~lk=O
Donc pour tout réel strictement positif e,
3no EN, Vn 2:: no, ISn - S~I ~ s~ ~ eS~.
On en déduit que (Sn - S~) = o(S~).
(b) Supposons la suite (Sn - S~)nelll convergente. Elle est alors bornée. La
suite (S~)nelll admet pour limite +oo. La suite ( Sn~S~) est convergente
vers O. On en déduit que, dans ce ca aussi, (Sn - S~) = o(S~).
Ceci permet de conclure :