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SÉRIES À VALEURS DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ
On en déduit que la suite (Sn)nEN est non majorée et que la série Ln>O Un
est divergente.
-
La suite (Sn)nEN étant non majorée et croissante, il existe un entier naturel
ni ~ no vérifiant
Alors,
no
n
n
'v'n~n1, S~=I::U~+ L
u~::=;t:Sn+t: L
uk::=;2t:Sn.
k=O
k=no+l
k=no+l
D'où, S~ = o(Sn)·
Si u~ = O(un), il existe un réel strictement positif K et un entier naturel no
vérifiant,
'v'n ~no, u~:::; Kun.
Il suffit de remplacer dans la preuve ê par K pour obtenir les résultats désirés. 4
Proposition 15.5 On considère deux séries à termes positifs Ln?:O Un et
Ln?:O u~. On suppose
Alors,
1. les deux séries sont de même nature ;
2. si les deux séries convergent, les suites des restes, définies par
+oo
+oo
'v'n E N, Rn = L Uk, R~ = L u~
k=n+l
k=n+l
sont équivalentes.
3. Si les deux séries divergent, les sommes partielles définies par
n
'v'n EN, Sn= Luk,
k=O
sont équivalentes.
Preuve.
n
S~= Lu~
k=O
1. En utilisant la proposition 7.17, page 89, on a Un= O(u~) et u~ = O(un)·
On en déduit, à l'aide de la proposition précédente, que les séries Ln>O Un
et Ln?:O Vn sont de même nature.
-
2. Supposons les deux séries convergentes. D'après la définition de deux suites
équivalentes (définition 7.8.3, page 89),
lun - u~I = o(u~).