15.2. CONVERGENCE DES SÉRIES À TERMES RÉELS POSITIFS
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Proposition 15.4 On considère deux séries à termes positifs En>o Un et
En~o u~. On suppose que u~ = o(un) (respectivement u~ = O(un)). -
1. Si En>O Un converge, alors En~o u~ converge. De plus, les suites des
restes, définies par
+oo
+oo
' k=n+l
k=n+l
vérifient R~ = o(Rn) (respectivement R~ = O(Rn)).
2. Si En>O u~ diverge, alors En~O Un diverge. De plus, les sommes partielles définies par
VnEN,
vérifient S~ = o(Sn) (respectivement S~ = O(Sn)).
Preuve. Supposons d'abord que
u~ = o(un)·
Soit c un réel strictement positif. Choisissons un entier no vérifiant
' 1. Supposons que la série En>O Un soit convergente. La suite des sommes partielles est majorée. Considérons S un majorant. Alors
n
no
' k=O
k=O
La suite de ses sommes partielles (S~)nEN est majorée. Les termes de la série
En>o u~ étant positifs, celle-ci est convergente.
D'autre part, pour tout entier n 2 no on a,
N
N
' k=n+l
k=n+l
En passant à la limite lorsque N tend vers +oo on obtient,
' D'où, R~ = o(Rn).
2. Supposons que la série En>O u~ soit divergente. La suite des sommes partielles (S~)nEN est non majorée. Il en est de même de la suite (S~ -S~ 0 )nEN·
Or,