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SÉRIES À VALEURS DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ
Proposition 15.1 Si une série Ln~O Un est convergente, alors la suite
( un)nEN converge vers O.
Preuve.
\ln 2: 1, Un= Sn - Sn-1·
D'où le résultat.
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Remarque 15.1 La réciproque est fausse. Voir, par exemple, le corollaire 15. 7,
en prenant a E]O, 1].
15.2 Convergence des séries à termes réels
positifs
Proposition 15.2 Une série Ln>O Un à termes réels positifs converge si et
seulement si la suite des sommes partielles (Sn)nEN est majorée.
Preuve. La série étant à termes positifs, la suite des sommes partielles (Sn)nEN
est croissante. Elle est donc convergente si et seulement si elle est majorée.
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Corollaire 15.3 On considère deux séries réelles Ln~O Un et Ln~o u~ telles
que
:lno EN*, \ln 2: no, 0:::; Un:::; u~.
Si Ln>o u~ converge, alors Ln~o Un converge; si Ln~O Un diverge, alors
Ln~O ~ diverge.
Preuve. Notons (Sn)nEN la suite des sommes partielles de la série Ln>O Un et
(S~)nEN la suite des sommes partielles de la série Ln~o u~. Nous avons -
Si la série Ln>O u~ est convergente, alors la suite (S~)nEN est majorée. La suite
(Sn)nEN est alors majorée, donc convergente. La sérieLn>O Un est convergente.
Supposons la série Ln>O Un divergente. Alors les suites ("Sn)nEN et (S~)nEN sont
non majorées. La série Ln~o u~ est divergente.
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