Chapitre 15
Séries à valeurs dans un espace
vectoriel normé
Dans ce chapitre, on considère (JE, IJ .11) un espace vectoriel normé.
15.1 Définitions
Définition : Soit ( un)nEN une suite à valeurs dans JE. On appelle série
de terme général Un, la suite (Sn)nEN définie par
n
Vn E N, Sn = U0 + U1 + · · · +Un = L Uk.
k=O
On note cette série Ln>o Un· Pour tout entier naturel n, Un s'appelle le
terme d'indice n. La suite (Sn)nEN s'appelle la suite des sommes partielles
de la série Ln~O Un.
Définition : Soit (un)nEN une suite à valeurs dans JE. On dit que la
série Ln>o Un converge si la suite des sommes partielles (Sn)nEN est
convergente. Dans ce cas,
1. On note et on appelle somme de la série, l'élément de JE
+oo
n
'""Uk = lim '""Uk·
L..,,
n--++oo L..,,
k=O
k=O
2. On appelle suite des restes la suite (Rn)nEN définie par
+oo
+oo
n
+oo
Vn E N, Rn = L Uk - Sn = L Uk - L Uk = L Uk.
k=O
k=O
k=O
k=n+l