15.6. EXERCICES
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4. On note I l'élémént unité de cette algèbre. Nous avons exp(O) = I. Ainsi,
'v'A E JE, I = exp(O) =exp( A). exp(-A) = exp(-A). exp( A).
On en déduit que exp(A) est inversible, d'inverse exp(-A).
Exercice 15.12 Existe-t-il une relation d'inclusion entre l 1 (JR.) et l 2 (JR.)?
Solution. Montrons que
l 1 (JR.) c l 2 (JR.).
Soit (un)nEN un élément de l 1 (JR.). La série l:n>o lunl est convergente. La suite
(un)nEN est convergente vers O. Il existe un entier naturel no vérifiant,
Ainsi,
'v'n :'.'.'.:no, 0 :::; u~ :::; lunl·
La série l:n>O u; est convergente et (un)nEN est élément de l 2 (JR.).
Remarquons-que l'inclusion est stricte car la suite (n~l )nEN appartient à l 2 (JR.)
mais pas à l 1 (JR.).
tft