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INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Ainsi,
11:c+o f(t)dtl = 1:c+a lf(t)ldt ~ a;o.
La propriété de Cauchy n'est pas vérifiée (proposition 14.9). L'intégrale fa+oo f(t)dt
est divergente. Ceci termine la preuve dans le cadre des fonctions à valeurs réelles.
Si l'application f est à valeurs complexes, il suffit de décomposer f en partie réelle
et imaginaire pour obtenir le même résultat.
4't
Exercice 14.8 On considère la fonction f, définie, continue et affine par morceaux
sur [1, +oo[ :
'in EN*,
Montrer que f 1 +
00 f (t)dt est convergente.
Solution. Pour tout entier naturel k strictement positif,
rk+l
1
Jk f(t)dt = 2k.
Donc pour tout entier naturel n strictement supérieur à 1,
r
n-1 1
1
li J(t)dt = L: 2k = 1 - 2n-l :::; i.
1
k=l
L'application f étant positive, pour tout réel x supérieur à 1,
r
{E(x)+l
11 f(t)dt :::; 11
f(t)dt :::; 1.
On déduit la convergence de l'intégrale en utilisant la proposition 14.5.
On peut remarquer que l'intégrale est convergente bien que la fonction f ne soit
pas bornée au voisinage de +oo.
4'
Exercice 14.9 On considère la fonction f définie sur [1, +oo[ à valeurs dans C par :
Vx E [1, +oo[,
. 3
f(x) = xe•x
1. Vérifier que limx->+oo lf(x)I = +oo
2. Montrer que J 1 +
00 f(x)dx est convergente.