14.3. PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Solution.
1.
Ainsi,
Vx ~ 1, lf(x)I = lxl.
lim lf(x)I = +oo.
x-++oo
235
2. Utilisons la proposition d'intégration par parties pour les intégrales généralisées
(proposition 14.13). On considère les applications g et h de classe C 1 sur
[1 + oo[ définies par,
On a f = g' h. Or,
g: [1,+oo[ - - t X
f---t
1 ix 3
3ie '
h: [1,+oo[ - - t ~
X
Vx E [1, +oo[,
f---t
.!.
X
1
lg(x)h(x)I = 3 x'
donc, la fonction gh admet pour limite 0 lorsque x tend vers +oo. On en
déduit, d'après la proposition 14.13, que les deux intégrales
l+oo g'(x)h(x)dx et l+oo g(x)h'(x)dx
sont de même nature. Or,
Vx E [1, +oo[,
1
lg(x)h'(x)I = 3x2.
La deuxième intégrale est absolument convergente donc convergente. On en
déduit que l'intégrale
r+oo
Ji f(x)dx
est convergente.