14.3. PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
5.
On obtient ainsi,
Vn E N, Jn = ~ {~ cos(2kt)dt = ~·
k=-nJo
1
~ sintd _ 7r
-
t--.
0
t
2
14.3.6 Comportement asymptotique
233
Quel est le comportement asymptotique au voisinage de +oo d'une application
continue f si l'intégrale fa+oo f (x )dx est convergente? La proposition suivante nous
indique que si la continuité est uniforme, alors l'application f admet 0 pour limite
lorsque x tend vers +oo. Si l'application est seulement continue sur [a, +oo[, nous
pouvons obtenir des comportements inattendus. Si l'application f est à valeurs
réelles, elle peut être non bornée au voisinage de l'infini (exercice 14.8). Si l'application f est à valeurs complexes, elle peut même vérifier limx-++oo lf(x)I = +oo
(exercice 14.9).
Proposition 14.15 On considère une fonction f à valeurs dans ][{, uniformément continue sur [a, +oo[. Si l'intégrale fa+oo f(t)dt est convergente alors
limx-++oo f(x) =O.
Preuve. On suppose dans un premier temps f à valeurs réelles. Soit f une application uniformément continue sur l'intervalle [a, +oo[. Effectuons la preuve par
contraposée. Supposons que la fonction f n'admette pas pour limite 0 lorsque x
tend vers +oo : il existe un réel strictement positif co, vérifiant
-
VX 2 a, 3x 2 X, lf(x)I 2 co.
L'application f étant uniformément continue sur [a, +oo[, il existe un réel strictement positif a vérifiant,
V(x, y) E ([a, +oo[) 2 ,
co
lx -yl :::; a=? lf(x) - f(y)I :::; 2·
Soit c un réel appartenant à l'intervalle [a, +oo[. Il existe un réel Xe appartenant
à l'intervalle [c, +oo[ tel que
Alors,
co
lf(y) - f(xe)I :::; 2·
On en déduit que sur l'intervalle [xe, Xe+ a], l'application f garde le même signe.
De plus,
w
[
]
l/(y)I 2 c 2 ° ·
vy E Xe, Xe+ a,