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INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
5. En déduire la valeur de l'intégrale
1
+oo sint
-dt.
0
t
Solution.
1.
sin(2n + l)t sin(2n + l)t ( 2
)
'\:ln E N,
.
rv
rv
n + 1 .
smt
o
t
o
Ces deux applications sont prolongeables par continuité en O. Les intégrales
sont donc convergentes.
2. Effectuons le changement de variable x = (2n + l)t. Nous obtenons
(2n+l),.1 -1 2 sintd
n -
t.
0
t
'\:/nEN,
On en déduit que la suite (In)nEN est convergente avec
1 .
1 -
sm d
1
+00 . t
lm
n -
t.
n->+oo
0
t
3. (a)
4.
sint-t
-~
t
f(t) = t sin t 7: t 26 7: -6
L'application f admet pour limite 0 lorsque t tend vers O. Elle est
prolongeable par continuité en O.
(b) Nous savons, d'après l'exercice 13.4, page 209 (lemme de Lebesgue),
que
lim r1i f(t) sin(nt)dt =o.
n->+oo Jo
On en déduit que la suite (In - Jn)nEN est convergente vers O. La suite
(In)nEN étant convergente, on obtient
1
+oo sint
lim Jn = lim In =
--dt.
n->+oo
n->+oo
0
t
'\:ln E N, '\:/t E)O, ~], k~n cos(2kt) = !R c~n e 2 ikt) .
Or pour tout réel t élément de JO,~], le nombre e 2 ikt est différent de 1. Ainsi,
k=n
2(2n+l)it _ 1
""' e2ikt = e-2int_e _ _ _ _ _
L.,,
e2it _ 1
k=-n
e-2int .e(2n+l)it
e(2n+l)it _ e-(2n+l)it
- - - - - - X ------,---.,.,--ei t
eit - e-it
e(2n+l)it _ e-(2n+l)it
sin(2n + l)t
eit - e-it
sin t