14.3. PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
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2. Supposons que l'intégrale 1: u'(t)f(u(t))dt soit convergente. Nous avons,
Ainsi,
lim F(y) = lim Go u- 1 (y) = lim G(x) =lb u'(t)f(u(t))dt.
y-+~
y-+~
x-+b
a
L'intégrale 1: f(t)dt est convergente et 1: f(t)dt = 1: u'(t)f(u(t))dt.
Exercice 14.7 Nous savons, d'après l'exercice 14.6, que l'intégrale lo+oo si~tdt est
convergente. Le but de cet exercice est de montrer que
1
+oo sint
7r
-dt=-.
0
t
2
On considère pour tout entier naturel n, les intégrales In et Jn définies par
In= 1~ sin(2~ + l)t dt, J -1~ sin(2n + l)td
n -
t.
0
sint
1. Vérifier que pour tout entier naturel n, les intégrales In et Jn sont convergentes.
2. Montrer que la suite (In)nEN est convergente avec
1
+oo sint
lim In=
-dt.
n-++oo
0
t
3. (a) Montrer que l'application f définie sur l'intervalle JO,~] par
f: JO,~] ---> ~
t
est prolongeable par continuité en O.
(b) En déduire, par exemple à l'aide du lemme de Lebesgue, exercice 13.4, page
209, que la suite (Jn)nEN est convergente avec
4. Montrer que
lim Jn = lim In·
n-++oo
n-++oo
7f
Vn EN, Vt E]O, "2],
kL=n
( 2 k ) sin(2n + l)t
cos
t = - - . - -
smt
k=-n