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INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Preuve.
Vx E [a, b[, 1x J(t)g'(t)dt = 1x (fg)'(t)dt -1x J'(t)g(t)dt,
c'est-à-dire
Vx E [a, b[, 1x f(t)g'(t)dt = [f(x)g(x) - f(a)g(a)] -1x f'(t)g(t)dt.
En supposant que f(x)g(x) admette une limite finie lorsque x tend vers b, la
convergence de l'une des intégrales entraîne celle de l'autre. Dans ce cas, en passant
à la limite, on obtient l'égalité indiquée dans la proposition.
9'
14.3.5 Changement de variable
Proposition 14.14 (Changement de variable). Soient u une application de
classe C 1 bijective strictement croissante de l'intervalle [a, b[ sur l'intervalle
[a, ,B[ et f une application continue par morceaux sur l'intervalle [a, ,B[, à valeurs dans K Alors les intégrales
1b u'(t)f(u(t))dt et 1: f(t)dt
sont de même nature et égales en cas de convergence.
Preuve. On considère les applications F et G définies par,
F : [a, ,B[ - - t lK
y
~ l! f(t)dt,
G: [a,b[ - - t lK
x
~ l: u'(t)f(u(t))dt.
D'après le corollaire 13.16, page 194, nous avons
Vx E [a,b[, 1x u'(t)f(u(t))dt = lu(x) f(t)dt.
Ainsi,
G = Fou et Go u- 1 = F.
1. Supposons que l'intégrale l: f(t)dt soit convergente. Nous avons,
lim u(x) =,B.
X->b
Ainsi,
lim G(x) = lim (Fou) (x) = lim F(y) = 1(3 f(t)dt.
x->b
x->b
y->(3
°'
L'intégrale l: u'(t)f(u(t))dt est donc convergente et l: u'(t)f(u(t))dt = J: f(t)dt.