14.3. PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
5.
Vt ~ 1, 0 sin
2 t
1sint1
<--< -
.
-
t
-
t
229
On en déduit que ltxi 1si~t1 dt puis ltxi 1si~t1 dt sont divergentes et que
1
+ 00 sint
- d t
0
t
n'est pas absolument convergente.
6. Le développement limité de ln(l + x) à l'ordre 2 en 0 est
1
ln(l + x) = x - 2 x 2 + x 2 ë(x)
où ë est une application ayant pour limite 0 en O. Ainsi,
1 ( 1 sin t) _ sin t 1 sin 2 t sin 2 t (sin t)
Il
+-- -------+--ë -- .
vt
vt 2 t
t
vt
D'après la première question, 1 1 +
00
si:!/ dt est convergente. D'autre part,
( ~ sin 2 t + sin 2 t ë (sin t)) ,..., ~ sin 2 t
2 t
t
Vf,
+oo 2 t
Ces fonctions sont à valeurs positives au voisinage de +oo. Les deux intégrales
l +oo ( 1 sin 2 t sin 2 t (sin t)) l+oo 1 sin 2 t
--- + - - ë -
dt et
---dt
1
2 t
t
vt
1
2 t
sont de même nature. La seconde étant divergente, la première l'est aussi.
On en déduit que l'intégrale
f +oo ln ( 1 + s~t) dt
est divergente. On peut remarquer que
1 (
sint)
sint
Il 1 + fi. l'V fi.
vt +00 yt
et leurs intégrales en +oo sont de natures différentes.
14.3.4 Intégration par parties
Proposition 14.13 (Intégration par parties). Soient f et g deux fonctions à
valeurs dans][( de classe C 1 sur [a, b[.
1. Si limx-bf(x)g(x) existe, les intégrales l: J'(t)g(t)dt et l: f(t)g'(t)dt
sont de même nature.
2. Si ces intégrales convergent, on a :
l b J(t)g'(t)dt = [lim f(x)g(x) - f(a)g(a)] - rb J'(t)g(t)dt.
a
x-b
L