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INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
L'intégrale est convergente si et seulement si a - 1 < 1, c'est-à-dire
a < 2. En conclusion,
1
+ 00 sint
- d t
0
t°'
est convergente si et seulement si
0 2. (a) On montre avec un raisonnement identique à celui de la question précédente
3.
que, pour tout réel a strictement positif, l'intégrale
est convergente.
J
+oo cost
- d t
1
t°'
(b) Étude de la nature de l'intégrale
{
1 cost dt.
} 0
t°'
cost
1
- - r v -
t°' 0 t 0
L'intégrale est convergente si et seulement si a < 1. En conclusion,
1
+ 00 sint
- d t
0
t°'
est convergente si et seulement si
O Vt E]O, +oo[, eit =cos t + i sin t.
Donc, l'intégrale J 0 +
00
~~dt est convergente si et seulement si les intégrales
J 0 +
00
c~~tdt et J 0 +
00
s~~tdt le sont, c'est-à-dire 0 4. Pour tout réel t,
• 2
1 - cos2t
sm t=
2
En utilisant le critère d'Abel, on montre que l'intégrale
J
+oo cos2t
--dt
1
t
est convergente. Or, l'intégrale,
J
+oo ~dt
1
t
est divergente. On en déduit que l'intégrale
est divergente.
J
+oo sin 2 t
--dt
1
t