14.3. PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
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sont convergentes, donc
1b f(t)g(t)dt
l'est aussi.
Exercice 14.6
1. Pour quelles valeurs du réel a strictement positif, l'intégrale
r+oo . t
Jo
s~~ dt est-elle convergente?
2. Pour quelles valeurs du réel a strictement positif, l'intégrale f 0 +
00
c~~tdt est-elle
convergente ?
3. Pour quelles valeurs du réel a strictement positif, l'intégrale f 0 +
00
~~dt est-elle
convergente ?
J +oo · 2 t
4. Montrer que 1
81 ~ dt est divergente.
5. En déduire que J 0 +
00
si~tdt n'est pas absolument convergente.
6. Donner la nature de l'intégrale,
r+oo (
sint)
} 1
ln 1 + Vt dt.
Solution.
1. (a) Étude de la nature de l'intégrale
L'application
l
+oo sint
-dt.
1
t°'
f : [1, +oo[ ----+ JR+
X
est positive décroissante et admet une limite nulle lorsque x tend vers
+oo. D'autre part,
Vx;?: 1, llx sin tdtl = 1 cos x - cos li :=:; 2.
Les hypothèses du critère d'Abel sont vérifiées. L'intégrale f 1 +
00
s~~ t dt
est convergente pour tout réel a strictement positif.
(b) Étude de la nature de l'intégrale
rl sint dt.
} 0
t°'
sin t
1
~ 0 ta-1'