226
INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
D'après l'exercice 14.3, f 0
1 ~ est convergente donc
l'est aussi. li est ainsi absolument convergente. On en déduit que
fo+oo )x sin(~) dx
est une intégrale convergente.
14.3.3 Règle d'Abel
Proposition 14.12 (Règle d'Abel} On considère deux fonctions f et g continues par morceaux sur l'intervalle [a, b[ :
1. f est à valeurs réelles positives, décroissante, avec limx-+b f(x) = 0,
2. g est à valeurs réelles ou complexes et
3M > 0, 'v'x E [a, b[, llx g(t)dtl ::; M.
Alors J: f(t)g(t)dt est convergente.
Preuve. On suppose dans un premier temps g à valeurs réelles.
Soit e un réel strictement positif. Choisissons un réel c E [a, b[ vérifiant
'v'x E [c, b[, 0 ::; f (x) ::; e.
Considérons un couple (x, y) d'éléments de [c, b[ avec x < y. En appliquant la
seconde formule de la moyenne (proposition 13.21, page 200), il existe un réel z
appartenant à [x, y] vérifiant
1Y f(t)g(t)dt = f(x+) 1z g(t)dt.
On obtient
11y f(t)g(t)dtl::; 2Me.
L'intégrale
lb f(t)g(t)dt
est convergente puisqu'elle vérifie le critère de Cauchy.
Sig est à valeurs complexes, on écrit g = ~(g) +iSS(g). Les deux applications ~(g)
et SS(g) vérifient les hypothèses indiquées dans la proposition. Les intégrales
lb f(t)~(g(t))dt et lb f(t)SS(g(t))dt