14.3. PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
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14.3.2 Intégrales absolument convergentes
Proposition-définition 14.11
Si lb lf(t)ldt est convergente, alors lb f(t)dt est convergente.
On dit dans ce cas que l'intégrale généralisée de f est absolument convergente.
Si l'intégrale généralisée de f est convergente mais non absolument convergente,
on dit qu'elle est semi-convergente.
Preuve. Supposons quel: lf(t)ldt soit convergente. Elle vérifie le critère de Cauchy. Soit € un réel strictement positif. Choisissons un réel c E [a, b[ vérifiant,
V(x,y) E ([c,b[) 2 , 1Y lf(t)ldt < €.
Alors
V(x, y) E ([c, b[) 2 , 11Y f(t)dtl :::; 11Y lf(t)ldtl < €.
L'intégrale l: f(t)dt est donc convergente.
Exercice 14.5 Indiquer la nature de l'intégrale
r+oo 1 ( 1)
Jo
Vx sin x dx.
Solution. Cette intégrale est convergente si et seulement si les deux intégrales
le sont.
1. Nous remarquons que
Vx 2: 1, - 1 - sin (~) 2: O.
Vx
X
De plus,
_2_ sin(~) rv ~.
Vx
X
+oo X'ï
L'intégrale I2 est convergente.
2.
Vx E)O, 1), 1
_1 sin (~)I:::; _1 .
Vx
X
Vx