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INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
d'éléments de [a, b[ convergente vers b. Soit c un réel strictement positif.
Choisissons un réel c E [a, b[ vérifiant
V(x, y) E ([c, b[) 2 , 11Y f(t)dtl < c.
Choisissons un entier n0 vérifiant
Vn 2: no an E [c, b[.
Alors,
On en déduit que la suite (F(an))nEN est de Cauchy donc convergente
puisque ][{ est complet. Il suffit d'utiliser la proposition 3.6, page 36, pour
affirmer que F admet une limite en b et donc que l'intégrale converge.
2. Supposons que l'intégrale soit convergente, c'est-à-dire que l'application F
admette une limite en b. Soit c un réel strictement positif. Choisissons un
réel c E [a, b[ vérifiant
Vx E (c,b(, IF(x) - limF(t)I < ~.
t-+b
2
Alors
V(x, y) E ((c, b[) 2 , 11Y f(t)dtl = IF(y) - F(x)I < c.
Corollaire 14.10 On considère deux réels a et b vérifiant a < b. Soit f
[a, b[-+ ][{ une fonction continue par morceaux et bornée sur [a, b[. Alors,
l'intégrale J: f(t)dt est convergente.
Preuve. Soit M un réel strictement positif vérifiant
Vt E (a, b[, lf(t)I ::::; M.
Soit c un réel strictement positif. Il suffit alors de choisir
et utiliser la proposition précédente.