14.3. PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Solution. Nous devons étudier la nature des intégrales
1
1 -t
:._dt et
0 ta.
i
+oo e-t
-dt.
1
ta.
Toutes les applications utilisées dans la solution sont positives.
223
1. Puisque et:' 'Q t~ , l'intégrale f 0
1 et:' dt est convergente si et seulement si
a < 1 {voir exercice 14.3).
2. Pour tout réel a,
Donc, au voisinage de +oo,
_1
e 2
lim -
=0.
t-++oo ta.
On en déduit que Jt
00
et:' dt est convergente, quel que soit le réel a. En
conclusion,
1
+00 e-t
-dt
0
ta.
est convergente si et seulement si a < 1.
14.3 Propriétés des intégrales généralisées
Dans cette section, IK représente ~ ou C.
14.3.1 Critère de Cauchy
Proposition 14.9 {Critère de Cauchy pour les intégrales). Soit f : [a, b[-+ IK
une fonction continue par morceaux sur [a, b[. L'intégrale J: f(t)dt converge si
et seulement si
Ve > 0, :Je E [a, b[, 't:/(x, y) E ([c, b[) 2 , 11Y f(t)dtl < c.
{14.11)
Preuve. Nous supposons que b est un nombre réel. Si b = +oo, la preuve est
similaire. Soit
F: [a,b[ ---+ IK
X
~ I: f(t)dt.
1. Supposons que la propriété {14.11) soit vérifiée. Montrons que l'application
F admet une limite lorsque x tend vers b. Considérons une suite (an)nEN