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INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
nous permet d'écrire
D'où le résultat.
2. Si les deux intégrales divergent, deux cas se présentent.
(a) L'intégrale
lb lf(x) - g(x)Jdx
est convergente. Dans ce cas, l'application qui, à tout réel x élément de
[a, b[ associe
est bornée. Sachant que
lim r g(t)dt = +oo,
x-+b}a
on obtient le résultat désiré.
(b) L'intégrale
lb lf(x) - g(x)Jdx
est divergente. Nous obtenons, à l'aide de la proposition 14.7
(lx IJ(t) - g(t)J dt) =Ob (lx g(t)dt) .
L'inégalité
Vx E [a, b[, llx f(t)dt- lx g(t)dt':::; (lx lf(t) - g(t)J dt)
nous permet d'écrire
Ceci termine la preuve.
Exercice 14.4 Donner, suivant le réel a, la nature de l'intégrale :
1
+= e-t
-dt.
0
t°'