14.2. CAS DES FONCTIONS POSITIVES
Il existe un réel c' appartenant à l'intervalle [c, b[ vérifiant,
\:/x E [c',b[, lx g(t)dt?. le f(t)dt.
Ainsi,
\:/x E [c', b[, lx f(t)dt =le f(t)dt +lx f(t)dt
:::; lx g(t)dt +lx g(t)dt:::; (K + 1) lx g(t)dt.
D'où le résultat.
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Proposition 14.8 Soient f et g deux fonctions réelles positives. On suppose
qu'au voisinage de b, f,...., g. Alors
b
1. Les intégmlesJ: f(t)dt et J: g(t)dt sont de même nature.
2. (a) Si les intégmles convergent, t f(t)dt,...., t g(t)dt.
X
b X
{b} Si les intégmles divergent, f.x f(t)dt,...., r g(t)dt.
a
b a
Remarque 14.2 La propriété reste vmie pour deux fonctions négatives. En revanche, elle tombe en défaut pour des fonctions de signe quelconque. Voir pour
cela l'exercice 14.6.
Preuve. Les deux applications f et g étant équivalentes au voisinage de b, nous
avons f = Ob(g) et g =Ob(!). Les deux intégrales sont donc de même nature. Par
définition de fonctions équivalentes, nous avons
If - gj = Ob(g)
1. Si les deux intégrales
lb f(t)dt et lb g(t)dt
convergent, alors
lb lf(t) - g(t)jdt
est convergente et, d'après la proposition précédente 14.7,
(1b lf(t) - g(t)j dt) =Ob (1b g(t)dt).
L'inégalité,
\:/x E [a, b[, l1b f(t)dt -1b g(t)dtl :::; 1b lf(t) - g(t)I dt