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INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Preuve.
1. Considérons M un réel positif vérifiant
' Alors
' On en déduit que J: f(t)dt est convergente.
2. Nous avons
sup {lx f(t)dt} = +oo donc sup {lx g(t)dt} = +oo.
xE[a,b[
a
xE[a,b[
a
On en déduit que J: g(t)dt est divergente.
Proposition 14. 7 Soient f et g deux fonctions réelles positives. On suppose
qu'au voisinage de b, on a f = Ob(g) {resp. f = ob(g)). Alors :
. J,b
J,b
rb
rb
1. Si a g(t)dt converge, a f(t)dt converge et Jx f(t)dt = Ob(Jx g(t)dt)
(resp. J; f(t)dt = ob(f; g(t)dt)).
2. Si I: f(t)dt diverge, I: g(t)dt diverge et fax f(t)dt = obu: g(t)dt) {resp.
J: f(t)dt = Ob(fax g(t)dt)}.
Preuve. Les preuves sont effectuées lorsque f = Ob(g). Elles sont relativement
semblables lorsque f = ob(g). Supposons donc f = Ob(g). Alors,
3K > 0, 3c E [a, b[, Vt E [c, b[ 0:::; f(t) :::; Kg(t).
1. L'intégrale J: Kg(t)dt étant convergente, J; f(t)dt l'est aussi ainsi que J: f(t)dt.
D'autre part pour tout réel x appartenant à l'intervalle [c, b[, on a
Vy E [x, b[, 1y f(t)dt :::; K 1y g(t)dt.
En passant à la limite lorsque y tend vers b,
1b f(t)dt:::; K 1b g(t)dt.
D'où le résultat.
2. L'intégrale J: f(t)dt est divergente donc J: f(t)dt est également divergente.
On en déduit que J: Kg(t)dt est divergente, ainsi que J: g(t)dt et J: g(t)dt.
L'application g étant positive, nous avons
lim r g(t)dt = +oo.
x-+b}a