14.2. CAS DES FONCTIONS POSITIVES
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nant à l'intervalle [a, b[. L'application f étant positive,
\:/y E]x, b[, 1Y f(t)dt = 1x J(t)dt + 1Y J(t)dt ~ 1x f(t)dt.
D'où,
rb f(t)dt = lim r f(t)dt ~ r f(t)dt.
~
y-b~
~
Nous pouvons choisir M = J: f (t)dt.
2. Supposons réciproquement la propriété (14.10) vérifiée. Notons Ms le réel
Ms = sup { {x f(t)dt}.
xE(a,b( la
Soit e un réel strictement positif. Il existe un réel c appartenant à l'intervalle
[a, b[ vérifiant
Ms - ê < 1c J(t)dt.
Alors,
\:/x E [c, b[, Ms - ê < 1c J(t)dt S 1x f(t)dt S Ms.
On en déduit que
lim r f(t)dt =Ms.
x-b}a
L'intégrale est convergente et
1b f(t)dt =Ms
Remarque 14.1 L'application f étant à valeurs positives, l'application F est
croissante. Si la propriété {14.10} n'est pas vérifiée, alors
lim F(x) = +oo.
x-+oo
Dans ce cas, on notera
1b f(x)dx = +oo.
Proposition 14.6 Soient f et g deux applications continues par morceaux sur
l'intervalle [a, b[ à valeurs réelles et vérifiant 0 S f S g. Alors :
1. Si J: g(t)dt converge alors J: f(t)dt converge.
2. Si J: f(t)dt diverge alors J: g(t)dt diverge.