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INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Intégrale généralisée sur un intervalle ouvert
Proposition-définition 14.3 Soient ]a, b[ un intervalle de R (avec -oo :S
a< b :S +oo) et f :]a, b[---t Rune fonction continue par morceaux sur ]a, b[. On
suppose qu'il existe c0 E)a, b[ tel que les intégrales
1co f (t)dt et 1: f (t)dt
soient convergentes. Alors, pour tout réel c E]a, b[, les intégrales
1c f(t)dt et lb J(t)dt
convergent. On dit alors que J: f(t)dt est convergente et on note
[b
ro
[b
la J(t)dt =la J(t)dt + lco J(t)dt.
Cette valeur est indépendante du réel Co choisi dans l'intervalle ]a, b[.
Dans le cas contraire, on dit que l'intégrale J: f(t)dt diverge.
Preuve. Il suffit d'utiliser les propositions 14.l et 14.2.
Proposition 14.4 Les propriétés élémentaires vérifiées par les intégrales
sur un segment restent vraies pour les intégrales généralisées convergentes :
linéarité, positivité.
14.2 Cas des fonctions positives
Toutes les propriétés indiquées dans cette section le sont pour des intégrales
généralisées définies sur un intervalle [a, b[. On obtient des propriétés identiques
pour des intégrales généralisées définies sur un intervalle ]a, b].
Proposition 14.5 Soit f une application continue par morceaux sur l'intervalle [a, b[ et à valeurs réelles positives. Alors J: f(t)dt converge si et seulement
si
3M 2: 0, \lx E [a, b[, 1x J(t)dt :S M.
(14.10)
Preuve.
1. Supposons que l'intégrale J: f(t)dt soit convergente. Soit x un réel apparte-