14.l. DÉFINITION DE L'INTÉGRALE GÉNÉRALISÉE
Exercice 14.3
1. Donner, suivant le réel a, la nature de l'intégrale :
2. Donner la nature de l'intégrale
1
1 lntdt.
Solution.
1. (a) Si a= 1.
2.
\lx E]O, 1], 1
1 dt
- = [lnt]; = -lnx.
X
t
Puisque
lim (- lnx) = +oo,
x-+O
l'intégrale est divergente.
(b) Si a# l.
\lx E]O, 1], 1
1 dt
[ tl-o ] 1
1
1-o
- = -
=-(l-x ).
x t 0
1-a x
l-a
L'intégrale est convergente si et seulement si a < l. Dans ce cas,
1
1
:! = 1 ~a·
\lx E]O, 1], 1
1 lntdt =[tint- t]; = x - xlnx -1.
Puisque
lim(x - xlnx -1) = -1,
x-+O
l'intégrale est convergente et
1
1 lntdt = -1.
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Proposition 14.2 Soient ]a,b] un intervalle de~ (avec -oo:::; a< b < +oo)
et f :]a, b] --+ OC une fonction continue par morceaux sur ]a, b]. Pour tout c E
]a, b[, l'intégrale J: f(t)dt est convergente si et seulement si J: J(t)dt l'est.
Dans ce cas
lb J(t)dt = le J(t)dt + 1b J(t)dt.
Preuve. La preuve est similaire à celle de la proposition 14.l.