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INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
En conclusion, l'intégrale est convergente si et seulement si
~(À)< 0
et, dans ce cas,
Proposition 14.1 Soient [a, b[ un intervalle de R. (avec -oo et f : [a, b[---t lK une fonction continue par morceaux sur [a, b[. Pour tout c E
]a, b[, l'intégrale J: f(t)dt est convergente si et seulement si J: f(t)dt l'est.
Dans ce cas
lb J(t)dt =le J(t)dt + 1b f(t)dt.
Preuve.
Vx E [a, b[, lx f(t)dt =le f(t)dt + 1x f(t)dt.
Ceci prouve que, si l'une des deux intégrales généralisées converge, l'autre aussi.
Dans ce cas, en passant à la limite,
lb J(t)dt =le f(t)dt + 1b J(t)dt.
Intégrale généralisée sur un intervalle de la forme ]a, b]
Définition : Soient ]a, b] un intervalle de R. (avec -oo ~ a < b <
+oo) et f : ]a, b] ---t R. une fonction continue par morceaux sur ]a, b]. Si
l'application définie pour tout réel x de l'intervalle ]a, b] par
lb f(t)dt
admet une limite finie lorsque x tend vers a, on dit que l'intégrale
généralisée (ou impropre) J: f(t)dt converge et on note
l b f(t)dt = lim lb f(t)dt.
a
x~a
x
Dans le cas contraire, on dit que l'intégrale J: f(t)dt diverge.