14.1. DÉFINITION DE L'INTÉGRALE GÉNÉRALISÉE
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Exercice 14.2 Indiquer pour quelles valeurs du nombre complexe À, l'intégrale généralisée
1+00 e>.tdt
est convergente. Donner, dans ce cas, la valeur de l'intégrale.
Solution. Considérons F, l'application définie sur l'intervalle JR+ par
F : JR+ -----+ C
1. Cas où A= O.
L'intégrale est divergente.
2. Cas où A =f. O.
X
rx Àt
Jo e .
Yx E JR+, F(x) = x.
Yx E JR+, F(x) = [~e>.t[ = ~ (e>.x - 1).
(a) Si ~{A) > 0,
lim IF{x)I = +oo.
x->+oo
L'intégrale est divergente.
{b) Si ~{A) < 0,
lim F(x) = _.!..
x->+oo
À
L'intégrale est convergente et
1+00 e>.tdt = -~.
(c) Si ~{A)= 0, on a À= i~{A) =f. O. Montrons que l'application
g : JR+ -----+ c
X
n'admet pas de limite lorsque x tend vers +oo. La suite (xn)nEN définie
par
YnEN,
n1l'
Xn = l~{A)I'
admet pour limite +oo lorsque n tend vers +oo. On a
La suite (g(xn))nEN est divergente, l'application g n'admet pas de limite
en +oo. Il en est de même pour l'application F. L'intégrale est donc
divergente.