13.7. EXERCICES
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Exercice 13.4 Soit

T-périodique et vérifiant,
loT 1. Montrer que la fonction ' ljJ définie sur R par :
\:/t ER, 'ljJ(t) =lot est périodique, continue sur R donc bornée.
2. Montrer que si :
(a) f est une fonction indicatrice d'un segment (éventuellement de longueur
nulle) inclus dans [a, b],
(b) f est une fonction en escalier sur l'intervalle [a, b],
(c) f est une fonction continue par morceaux sur l'intervalle [a, b],
alors,
lim lb f(t) n->+oo a
3. (Application : Lemme de Lebesgue) Si f est continue par morceaux sur [a, b],
montrer que :
lim lb f(t)eintdt =O.
n->+oo a
Remarque 13.4 Nous retrouverons ce dernier résultat dans le chapitre sur les
séries de Fourier, proposition 21. 7, page 382.
Solution.
1. Nous savons, grâce à la proposition 13.10, page 190, que l'application ' ljJ est
dérivable donc continue sur R Pour tout réel t,
'!jJ(t) =lot Effectuons le changement de variable u ~ x + T.
t+T
t+T
'l/J(t) = JT le segment [O, T],
sup l'l/J(t)I = sup l'l/J(t)I.
tEIR
tE (O,Tj