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INTÉGRATION SUR UN SEGMENT
4. Notons ( un)nEN*, la suite indiquée dans cette question. Nous avons
D'autre part,
Vn 2:: 1,
nous permet d'écrire
D'où
5. En remarquant que
On obtient
Vn 2:: 1,
Vn 2:: 1,
Vn 2:: 1,
- ~ [(2nn!)2] 2
Un - n
(2n)!
lim Un= 1r.
n-++oo
1
2 2
Un= -(2n+ 1) /2n+l•
n
) 2
n
Vn 2:: 1, (2n+ 1 I2n+i = 2 n+ 1 Un.
On en déduit que
lim (2n + l)I:~n+l = ~ 2 ,
n-++oo
De plus la relation,
VnEN,
2
2n
I2n
2
(
) (
)
2
(2n)I2n = 2n + 1
I2n+1
(2n + l)I2n+i
permet d'écrire,
lim (2n)I?n = ~ 2 ,
n-++oo
La suite (nI~)nEN est convergente puisque la suite extraite des termes d'indices pairs et la suite extraite des termes d'indices impairs sont convergentes
vers la même limite. Ainsi,
1 .
12
n:
im nn=- 2 .
n-++oo
La suite (/n)nEN étant positive,
lim y'rÎ,Jn = E 2 .
n-++oo
V 2
D'où,