13.7. EXERCICES
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1. Écrire, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, une relation entre In et
In-2·
2. Donner une expression explicite de In pour tout n E N.
3. Montrer que
1 .
I2n
l
lm - - = .
n->+oo I2n+l
4. En déduire la formule de Wallis :
.
1 [ 2n(2n - 2) · · · 2 ] 2
hm -
= 7r,
n->+oo n (2n - 1)(2n - 3) · · · 1
5. Montrer que
Solution.
1. Soit n entier naturel, supérieur ou égal à 2,
In = 1~ sinn- 2 x(l - cos 2 x)dx = In-2 -1~ sinn- 2 x cos x cos xdx
D'où,
l
1 [
. n-1 ] ~
1 l
l
1 l
= n-2 - - - 1 COSXSlll X O - - - n = n-2 - - - n·
nn-l
n-l
n-l
In= --In-2·
n
2. Par une récurrence simple, on obtient pour tout entier naturel n,
3.
(2n - 1)(2n - 3) · · · 1
hn=
~
(2n)(2n - 2) · · · 2
(2n)! 7r
= (2nn!) 2 '2'
(2n)(2n - 2) · · · 2
I 2 n+I = (2n + 1)(2n - 1) · · · 3 li
(2nn!)2
(2n + 1)!
\ln EN, \lx E]O, ~], 0 < sinn+l x:::; sinn x.
La suite (In)nEJ\I est donc strictement positive et décroissante. Ainsi,
D'où le résultat.