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INTÉGRATION SUR UN SEGMENT
1. Si M = 0, le résultat est évident. On suppose désormais pour cette question M
strictement positif. On a,
Soit e un réel strictement positif inférieur à M. L'application f étant continue
sur le segment [a, b], il existe un segment (a, ,B] de longueur non nulle inclus
dans [a, b] et vérifiant
Vt E [a, ,B], f(t) ~ M - c.
Donc, pour tout entier n supérieur à 1,
Sachant que
lim (b - a)!. .M = M et lim (,B - a)!. .(M - e) = (M - c)
n-++oo
n-++oo
on peut trouver un entier naturel n0 vérifiant,
Vn ~no,
1
(M -2e)::::; (,B-a)!..(M -c)::::; (1b J(ttdt)"'::::; (b-a)!.M::::; (M +e).
D'où le résultat.
2. L'application g est continue sur le segment [a, b] et strictement positive. La
borne inférieure de g, que l'on note mg. est atteinte donc strictement positive.
On note Mg la borne supérieure de g. Pour tout entier supérieur à 1,
Les deux suites se trouvant à gauche et à droite des inégalités convergent vers
la même limite M. Ceci prouve que la suite encadrée converge aussi vers M.
Exercice 13.3 Pour tout n EN, on pose