13.7. EXERCICES
D'autre part,
En utilisant l'inégalité triangulaire et les deux dernières inégalités, on obtient
On en déduit que,
llf(aH1) - f(ai)ll;:::: l~;+i llf'(t)lldt - 2(ai+l - ai)é.
En sommant, on obtient
L(fu);:::: lb llJ'(t)lldt - 2(b - a)é.
Ceci prouve que
sup{L(fu)/a subdivision de [a,b]} =lb llf'(t)lldt.
Ainsi,
L(r) =lb llf'(t)lldt.
13. 7 Exercices
Exercice 13.2 Soit f une fonction positive et continue sur [a, b].
1. Montrer que :
1
lim (lb f(ttdt),,. = M où M = sup f(t).
n-++oo
a
tE[a,b]
205
2. Soit g : [a, b] - t lR une fonction continue à valeurs strictement positives sur
[a, b]. Montrer que :
1
lim (lb f(ttg(t)dt) n = M où M = sup f(t).
n-++oo
a
tE[a,b]
Solution.