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INTÉGRATION SUR UN SEGMENT
subdivsion du segment [a, b]. On a,
n-1
L Uu) = L Jlf (ai+l) - f (ai) JI
i=O
= ~ lll~i+l J'(t)dt" ~ ~ l~i+l llJ'(t)Jldt =lb llf'(t)Jldt.
L'arc r est donc rectifiable.
L'application f' est continue sur le segment [a, b] donc uniformément continue.
Considérons e un réel strictement positif. Il existe un réel strictement positif a
vérifiant,
V(x, y) E (a, b] 2 , lx - YI ~a* llf'(x) - J'(y)JI ~ e.
Soit a = (ai)o:s;i:s;n une subdivision du segment [a, b] de pas inférieur à a. Soit i
un entier compris entre 0 et ( n - 1). Montrons que
Pour cela, il suffit d'établir les deux inégalités :
et
l(ai+1 - ai)llJ'(ai)ll - l~;+i llf'(t)lldtl ~ (ai+l - ai)e.
On définit l'application Yi par
---+ E
1------+
f(t) - (t - ai)f'(ai)·
L'application Yi est dérivable avec
Donc
Vt E (ai, ai+l], Jly~(t)JI ~ e.
En utilisant un corollaire (8.19, page 113) de l'inégalité des accroissements finis,
on obtient
Ainsi,
lllf(ai+1) - f(ai)ll - (ai+l - ai)llf'(ai)lll
~ Jlf(ai+i) - f(ai) - (ai+l - ai)J'(aï)JI ~ (ai+l - ai)e.