13.6. RECTIFICATION D'UN ARC PARAMÉTRÉ
13.6 Rectification d'un arc paramétré
13.6.1 Définition
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Définition : Soient r = ( [a, b], !) un arc paramétré c 0 ( i. e. continue) de
!Rn et a= (ai)o:::;i:::;n une subdivision de [a, b]. On appelle ligne polygonale
'Yu associée à a la suite finie de sommets Mi = f (ai) (0 :::; i :::; n). On
appelle longueur de 'Yu le réel positif :
n-i
n-i
L(fu) = L llMiMi+l'' = L llf (ai+l)-f (ai)ll ·
i=O
i=O
Définition : On dit que l'arc paramétré continu r = ([a, b], !) est rectifiable si :
sup{L(fu)/a subdivision de [a,b]} < +oo.
Dans ce cas, cette borne supérieure est appelée longueur de l'arc paramétré ([a, b] , !) et on la note L ([a, b] , !) = L(r).
Proposition 13.22 Le fait d'être rectifiable et la longueur d'un arc sont des
propriétés géométriques pour les arcs continus.
Preuve. On considère ri = ([a, b], !) et r2 = ([a, ,B], g) deux paramétrages admissibles d'un arc géométrique continu. Il existe() un homéomorphisme entre (a, ,B] et
[a, b] vérifiant
g=foO.
Cet homéomorphisme() permet de réaliser une bijection de l'ensemble des subdivisions de (a, ,B] sur l'ensemble des subdivisions de [a, b] (si() est décroissante alors
cette bijection inverse l'ordre des points des subdivisions) et on a L (f, [a, b]) =
L (g, [a, ,B]). Cette valeur commune est appelée longueur de l'arc géométrique. 4'
13.6.2 Longueur d'un arc paramétré compact de classe C 1
Théorème 13.23 Sir= ([a, b], !) est un arc paramétré compact de classe ci,
alors il est rectifiable et sa longueur est donnée par :
Preuve. On considère f une application de classe ci définie sur le segment [a, b]
à valeurs dans !Rn. On noter= ([a, b], !) l'arc paramétré. Soit a= (ai)o:::;i:::;n une