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INTÉGRATION SUR UN SEGMENT
(a) limn-++oo l: ln(t)g(t)dt = l: l(t)g(t)dt.
(b) limn-++oo ln(a+) = l(a+).
(a) Soit n un entier strictement positif. L'application I étant décroissante,
nous avons pour tout entier k strictement positif et inférieur ou égal à
n,
k-1
k
Vt E [a+--(b-a),a+-(b-a)[,
n
n
0 S l(t) - ln(t) SI (a+ k: 1 (b - a)) - I (a+ ~(b - a)) .
Donc,
Ü S 1a+{i(b-a) (f(t) - I n(t)) dt
a+ k;;:l (b-a)
s ~ [1 (a+ k: 1 (b-a))-1 (a+ ~(b-a))].
Ainsi,
1
b
1
\ln~ 1, 0 S
(f(t) - ln(t)) dt S - (f(a) - l(b)),
a
n
\ln~ 1, l1b (/n(t)g(t) - l(t)g(t)) dtl S lb lln(t) - l(t)l lg(t)I dt
= 1b (f(t) - ln(t)) lg(t)I dt S sup lg(t)l 1b (f(t) - ln(t)) dt
a
tE[a,b]
a
1
S sup lg(t)I - (f(a) - l(b)).
tE[a,b]
n
On en déduit
lim 1b ln(t)g(t)dt = 1b l(t)g(t)dt.
n-++oo a
a
(b) Pour tout entier, n strictement positif, on a
(
(b-a))
ln(a+) = I a+ - n - .
D'où,
Ce qui termine la preuve.