13.5. LES FORMULES DE LA MOYENNE
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Preuve. On considère pour toute la preuve, une application g continue par morceaux définie sur le segment [a, b], à valeurs réelles.
Soit G l'application définie par,
G: [a,b] - - t ~
t
~ J: g(x)dx.
L'application Gest continue sur le segment [a, b] (exercice 13.1). L'image de
cette application est donc le segment :
G([a, b]) = [m, M]
où
m = min G(x), M = max G(x).
xE[a,b)
xE[a,b)
Le réel f(a+) étant positif, l'image du segment [a, b] par l'application t 1--+ f(a+)G(t)
est le segment :
[f(a+)m, f(a+)M].
L'existence du réel c vérifiant l'égalité (13.9) équivaut donc à la double inégalité,
mf(a+):::; 1b f(x)g(x)dx:::; Mf(a+).
1. Supposons, dans un premier temps que f soit une application en escalier
sur [a, b]. Notons a= (ai)o::;i::;n une subdivision adaptée à cette application.
Pour tout entier naturel i strictement inférieur à n, on note fi la valeur
constante de f sur l'intervalle ] ai, ai+l [.
b
n-1
n-1
1 f(x)g(x)dx = L fi (G(aH1) - G(ai)) = L G(ai) Ui-1 - fi)+ fn-1G(an)·
a
i=O
i=l
L'application f étant décroissante et fn-1 étant positive, on a
(
n-1
)
b
(n-1
)
m ~Ui-1 - fi)+ fn-1 S 1 f(x)g(x)dx SM ~(fi-1 - fi)+ fn-1 ·
C'est-à-dire,
m.f(a+) :::; 1b f(x)g(x)dx:::; M.f(a+).
2. On suppose désormais f continue par morceaux sur [a, b]. On définit alors,
pour tout entier strictement positif, l'application fn définie sur [a, b] par
{
VkE {1, .. ·n},VtE [a+ k~ 1 (b-a),a+~(b-a)[,
f n(b) = f(b).
fn(t) = f (a+ ~(b- a)),
Nous remarquons que ces applications sont en escalier, positives et décroissantes.
Ainsi,
Vn 2: 1, m.fn(a+) :::; 1b fn(x)g(x)dx:::; M.fn(a+).
Pour conclure, il suffit de montrer que