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INTÉGRATION SUR UN SEGMENT
Solution.
V(ti, t2) E [a, b)2, llF(t1) - F(t2)ll S llt
2 llf(t)lldtl S lt1 - hl llflloo·
L'application Fest lipschitzienne sur [a, b] de rapport llflloo·
Proposition 13.20 {Première formule de la moyenne). Soient f et g deux
applications définies sur [a, b] à valeurs réelles, f étant continue, g continue
par morceaux et positive. Alors :
3c E [a,b], 1b f(x)g(x)dx = f(c) 1b g(x)dx.
Preuve. Considérons l'application h définie sur [a, b] par
h: [a,b] ~ lR
t
~ f(t) l: g(x)dx.
L'application f étant continue sur le compact, connexe [a, b], l'intégrale de la fonction g étant positive, on en déduit que l'image de l'application h est le segment
h([a,b]) = [( rb g(x)dx) inf f(t); (lb g(x)dx) sup f(t)].
la
tE[a,b]
a
tE[a,b]
L'application g étant positive,
Vx E [a,b],
inf f(t)g(x) s f(x)g(x) s sup f(t)g(x).
tE[a,b]
tE[a,b]
En intégrant, nous obtenons,
inf f(t) lb g(x)dx s lb f(x)g(x)dx s sup f(t) lb g(x)dx.
tE(a,b]
a
a
tE[a,b]
a
Le réel l: f(x)g(x)dx appartient à h ([a, b]). Il existe un réel c élément de [a, b]
vérifiant
1b f(x)g(x)dx = h(c) = f(c) 1b g(x)dx.
Proposition 13.21 {Seconde formule de la moyenne). Soient f et g deux
fonctions continues par morceaux sur [a, b] à valeurs dans !R. On suppose f
positive et décroissante. Alors,
3c E [a,b], 1b_f(x)g(x)dx = f(a+) 1c g(x)dx.
(13.9)