13.5. LES FORMULES DE LA MOYENNE
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Un raisonnement analogue appliqué à f' et f" donne :
sk (!') = j 1 !' (t) dt - 2 ~sk (!") + o (-b) = J (1) - J (o) - Ask (!") + o (-b),
0 1
Sk(f")= 1 f"(t)dt+O(k) =/'(1)-/'(0)+0(t)· _
Et en définitive :
sk (f) = fo
1 f (t) dt - ;k U (1) - J (O)) + 12
1 k 2 U' (1) - !' (o)) + o (: 3 ) .
Remarque 13.3 Nous verrons que, si la fonction est de classe C 1 sur le segment
[O, 1), on obtient la majoration d'erreur suivante {Chapitre 24, section 24.4, page
490).
Exemples:
1. Pour f (t) = l~t' on obtient:
2 k-l 1
1
1
( 1 )
~ i = ln ( 2 ) + 4k + 16k2 + O k 3 ·
2. Pour f (t) = 1 ~t2 , on obtient :
13.5 Les formules de la moyenne
Voici un exercice utile pour la p~euve de la deuxième formule de la moyenne.
Exercice 13.1 Dans cet exercice, on considère un segment [a, b] et JE un espace vectoriel normé complet.
Soit f une application continue par morceaux sur [a, b] à valeurs dans JE. Montrer que
l'application définie sur [a, b] à valeurs dans JE par
F : [a, b] ---+ JE
t
~ J: f(x)dx
est lipschitzienne sur [a, b].