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INTÉGRATION SUR UN SEGMENT
13.4. 7 Exemple de somme de Riemann :
la méthode des rectangles
Sans perdre de généralité, on se place sur le segment [O, 1] et dans l'espace
CM([0,1],IE). Dans notre exemple, chaque subdivision est régulière, c'est-à-dire
que les segments déterminés par celle-ci ont même longueur. Pour chaque segment, le poi~t choisi sera l'origine du segment. À toute application f élément de
CM([a,b],IE), on associe ainsi la suite définie par
En utilisant le résultat de la proposition précédente, on obtient
V/ E CM([a,b],IE), f
1 f(t)dt = lim Sk(f).
Jo
k--.+oo
En supposant une certaine régularité de l'application f, nous obtenons le résultat
suivant,
Théorème 13.19 Pour toute fonction f E C 3 ([O, 1], ~) on a le développement
asymptotique :
{1
1
1
( 1)
sk (f) = lo f (t)dt- 2 k (f (1) - f (O)) + 12 k 2 (!' (1) - !' (O)) + o k 3 .
Preuve. On considère k un entier strictement positif, i un entier positif strictement
inférieur à k et t un point du segment [~, itl). D'après l'inégalité de TaylorLagrange, théorème 8.20, page 114,
llJC
3
)lloo < J(t)-J (i)-(t-i) J' (i) _! (t-i)
2 J" (i) < llJC
3
)lloo
3!k3 -
k
k
k
2
k
k -
3!k3 .
Puis, en intégrant :
_ llJC
3
)lloo < i~ J (t) dt_ !J (i) __ 1 J' (i) _ _!_2_J" (i) < llJC
3
)lloo
3!k 4 - i
k
k
2k 2
k
3! k 3
k -
3!k 4
k
.
et en sommant les inégalités obtenues :
C'est-à-dire que :
sk (f) = fo
1 f ( t) dt - 2
1 k sk (!') - 6 ~ 2 sk (!") + o ( : 3 ) .