13.4. CALCUL D'UNE INTÉGRALE
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2. Considérons f une application en escalier. Alors, f peut s'écrire sous la forme
avec pour tout entier m compris entre 1 et p,
fm = :Il.[cm,dm]·Um
où [Cm, dm] est un segment et Um un élément de JE. Pour tout entier n strictement positif,
p
S(f, O"n, 8n) = L S(fm, O"n, 8n)·
m=l
On en déduit que la suite (S(f, an, 8n) )nEN est convergente vers
p
{b
{b
L la fm(t)dt =ln. J(t)dt.
m=l a
a
3. Soit enfin f une application continue par morceaux sur [a, b]. Nous savons
que ê([a,b],IE) est dense pour la norme uniforme dans CM([a,b],IE). Soit c
un réel strictement positif. Il existe une application en escalier g tel que
Ili - glloo : : : ; ; c.
Alors, pour tout entier n strictement positif,
k
llS(f, O"n, en) - S(g, O"n, 8n)ll : : : ; ; L(ai - ai-1) llf(Oi) - g(Oi)ll : : : ; ; (b - a)c.
i=l
et
lllb f(t)dt - lb g(t)dtll:::;; (b- a)c.
L'application g est une application en escalier. Il existe un entier no tel que
Ainsi, pour tout entier n supérieur à n0 ,
llS(f, O"n, 8n) - lb f(t)dt 1 :::;; llS(f, O"n, 8n) - S(g, O"n, 8n)ll
+ lls(g •••• e.) - l g(t)dt + Il f (t)dt - l g(t)d•ll s (1+ 2(b _ ·)) ..
D'où le résultat.