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INTÉGRATION SUR UN SEGMENT
13.4.6 Sommes de Riemann
Proposition 13.18 On considère [a, b] un segment. On appelle subdivision
pointée du segment [a, b], un couple (u, 8) où a = (ai)O~i~k est une subdivision de [a, b] et e = (t'hh~i9 une famille de points de [a, b] tels que
Vi E [1,k], (}i E [ai-1,ai]· Soit f, une application continue par morceaux
de [a, b] à valeurs dans JE. On pose :
k
S(f, u, 8) =~)ai - ai-1)/(fJi)·
i=l
Soit (un, en)nEJ\11 une suite de subdivisions pointées du segment [a, b] telles que
la suite des pas (ôn)nEJ\I" tende vers O. Alors
lim S(f, Un, en) = fb f(x)dx.
n-++oo
la
Preuve.
1. Montrons dans un premier temps que la propriété est vérifiée pour les applications de la forme
f: [a,b] - - t JE
x
1--t
l[c,dj(x).u
où l[c,d] est la fonction indicatrice du segment [c, d] avec éventuellement
c = d et u un élément de JE. Considérons (u, 8) une subdivision pointée du
segment [a, b] avec u = (ai)o~i9 et e = (fJih~i9·
Soit i un entier compris entre 1 et n.
(a) Si les réels cet d n'appartiennent pas au segment [ai-1,ai], alors f est
constante sur ce segment et
la; f(t)dt - (ai - ai-1)/(fJi) =la; (f(t) - f(fJi)) dt= O.
ai-1
ai-1
(b) Si le segment [ai-1, ai] contient le réel cou le réel d ou les deux, alors
l'application l[c,d]·U ne prenant que les valeurs 0 et u, on a
Ainsi pour tout entier n strictement positif,
On en déduit que la suite (S(f, O'n, en))nEJ\I est convergente et
lim S(f,un,8n) =lb f(x)dx.
n-++oo
a