13.4. CALCUL D'UNE INTÉGRALE
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continue par morceaux. Pour le vérifier, il suffit de prendre par exemple l'application u définie sur le segment [O, 1] par
{
u(O) = 0,
Vt E]O, 1], u(t) = t 3 sin (t)
et l'application f fonction indicatrice de l'intervalle JR+.
Voici une première application.
13.4.5 Intégrale sur une période d'une application périodique
Proposition 13.17 Soient T un réel strictement positif, f une application
T- périodique, continue par morceaux sur :IR, à valeurs dans JE e. v. n. complet.
Alors,
Preuve. Utilisons la relation de Chasles.
l ti+T
1t2
1t2+T
lti+T
f(x)dx =
f(x)dx +
f(x)dx +
f(x)dx.
ti
t1
t2
t2+T
On supposera, sans perdre de généralité, que le réel t1 est strictement inférieur à
t2. Effectuons le changement de variable suivant
u : [ti, t2] ----+ [t1 + T, t2 + T]
t
i------t
t+T
Nous obtenons
1 t2+T
1t2
1t2
f(t)dt =
f(t + T)dt =
f(t)dt.
ti +T
t1
t1
En remplaçant dans l'égalité précédente, on obtient le résultat désiré.