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INTÉGRATION SUR UN SEGMENT
Corollaire 13.16 On considère deux segments [a, b], [a, ,B], JE e.v.n. complet,
u : [a, b] ---+ [a, ,B]
une application de classe C 1 strictement monotone du segment [a, b] sur le
segment [a, ,B] et
f : [a, ,B] ---+ JE
une application continue par morceaux. Alors
1. L'application fou est une application définie sur le segment [a, b] à valeurs
dans JE, continue par morceaux,
2.
1b u'(t)f(u(t))dt = 1: f(t)dt.
Preuve. On considère (ai)o tout entier i compris entre 0 -;;t (n - 1), l'application Yi définie, continue sur le
segment [ai, ai+1] et coïncidant avec f sur l'intervalle ]ai, ai+i[·
Nous effectuons la preuve dans le cas où l'application u est strictement croissante,
le cas où u est strictement décroissante étant similaire. On note
La suite (ai)o::;i::;n est une subdivision du segment [a, b]. D'autre part,
V'i E {O, 1, .. · ,n -1},
(gi o u) est continue sur le segment
[ai, ai+i],
(gi o u)(t) = (! o u)(t).
L'application (!ou) est donc une application continue par morceaux définie sur le
segment [a, b]. L'application u' étant continue, l'application u'.(f ou) est continue
par morceaux. Ainsi,
lb u'(t).f(u(t))dt = I: 1a;+i u'(t).f(u(t))dt = I: 1a;+i u'(t).gi(u(t))dt
a
i=O a;
i=O a;
= I: 1°' i+l Yi(t)dt = I: 1°' i+l f(t)dt = 1/3 f(t)dt.
i=O a;
i=O a;
°'
Remarque 13.2 On peut remarquer que si u est une application ~l~e-C 1
définie sur un segment [a, b] à valeurs dans un intervalle I et f une application
continue par morceaux sur I, l'application fou n'est pas toujours une application