13.4. CALCUL D'UNE INTÉGRALE
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Les trois applications (f g )', f' g et f g' étant continues sur [a, b], elles admettent
une intégrale sur ce segment et
1b f(x)g'(x)dx = 1b (fg)'(x)dx -1b f'(x)g(x)dx.
13.4.4 Changement de variables
Proposition 13.15 On considère un segment [a, b], I un intervalle, JE e.v.n.
complet,
u: [a, b]---> I
une application de classe C 1 et
une application continue. Alors
1
b
f,u(b)
u'(t)f(u(t))dt =
f(t)dt.
a
u(a)
Preuve. Considérons l'application F1 définie par
F1 : [a, b] -----+ JE
x
~ J: u'(t)f(u(t))dt.
Cette application est dérivable sur [a, b] avec
't:/x E [a,b], F{(x) = u'(x)f(u(x)).
Considérons l'application F2 définie par
[a,b]
JE
X
J, u(x) J(t)dt.
u(a)
On a F2 = F ou où
F: I -----+ JE
Y ~ I:ca) J(t)dt.
L'application F2 est donc dérivable sur [a, b] avec
't:/x E [a,b], F~(x) = u'(x).F'(u(x)) = u'(x)f(u(x)).
Les deux applications F1 et F2 ont même dérivée sur le segment [a, b] et sont égales
en a. Ces deux applications sont égales et, en particulier, F1(b) = F2(b).
tft