192
INTÉGRATION SUR UN SEGMENT
L'application F étant dérivable sur [a, b], nous savons, d'après la proposition 12.13,
page 179, que les applications Fi le sont et
n
F' = °LFfei.
i=l
Or,
n
F' = f = Lfiei.
i=l
Ainsi,
ViE{l,2, .. ·,n}, Ff=k
On en déduit que pour tout entier compris entre 1 et n, l'application Fi est une
primitive sur le segment [a, b] de l'application continue fi :
b
n
n (
b
)
1 f(t)dt = F(b) - F(a) = ~ (Fi(b) - Fi(a)) ei = ~ 1 fi(t)dt ei.
Corollaire 13.13 Si f est un élément de CM([a,b],q, on a
1.
2.
~ (1b f(x)dx) = 1b ~(f(x))dx,
3.
13.4.3 Intégration par parties
Proposition 13.14 (Intégration par parties). Soient f : [a, b] ---+ lR et g
[a, b] ---+JE deux applications de classe C 1 . Alors
1b f(x)g'(x)dx = [f.gJ! -1b J'(x)g(x)dx.
Preuve. Nous avons, d'après l'exercice 8.1, page 92
Vx E [a, b], (fg)'(x) = f(x)g'(x) + J'(x)g(x).