13.4. CALCUL D'UNE INTÉGRALE
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Corollaire 13.11 Soit f une application définie, continue sur un intervalle I,
à valeurs dans JE. Alors,
1. L 'application f admet des primitives sur I.
2. Pour tout segment [a, b] inclus dans I et pour toute primitive F1 de f sur
le segment [a, b], on a
Cette dernière expression est notée
Preuve.
1. L'application F définie dans la proposition précédente est une primitive de
f.
2. Soit F1 une primitive de f sur l'intervalle [a, b]. Alors, l'application (F- F1)
est dérivable sur I, de dérivée nulle. Cette application est constante sur
l'intervalle I :
\lx E J, F(x) - F1(x) = F(a) - F1(a) = -F1(a).
En particulier, pour x = b,
D'où le résultat.
13.4.2 Cas où E est de dimension finie
Proposition 13.12 On considère JE espace vectoriel de dimension finie et B =
(eih un sey:;:,,,ent [a, b], à valeurs dans JE. On note (Ji, /2, · · · , fn), les applications
coordonnées de f dans la base B. Alors,
b
n (
b
)
1 f(x)dx = ~ 1 fï(x)dx ei.
Preuve. Soit F une primitive de f sur le segment [a, b]. Notons (Fi, F2, · · · , Fn),
les applications coordonnées de F dans la base B :
n
F= LFiei.
i=l