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INTÉGRATION SUR UN SEGMENT
4. Soit x0 un point de [a, b] vérifiant f(xo) > O. Il existe un segment (c, d) inclus
dans [a, b], contenant le point xo et vérifiant
wt ( d) f(t) "?_ f (2xo).
V E c, '
-
Donc,
1b f(t)dt "?_ ld f(t)dt 2: (d - c~f(xo) > O.
13.4 Calcul d'une intégrale
13.4.1 Calcul à l'aide d'une primitive
Proposition 13.10 Soient f une application définie, continue sur un intervalle I, à valeurs dans JE et a un élément de I. Alors l'application F définie
sur I par:
\lx E I, F(x) = 1"' f(t)dt
est dérivable sur cet intervalle de dérivée f.
Preuve. Considérons x un élément de I. Montrons que F est dérivable en x de
vecteur dérivée f(x). Soit ê un réel strictement positif. Considérons a un réel
strictement positif vérifiant
\/y E I, lx -yl ::::; a 9 llf(x) - f(y)ll ::::; ê.
Alors, pour tout nombre réel h non nul tel que le réel (x + h) appartienne à I et
vérifiant lhl ::::; a,
Il~ (F(x + h) - F(x)) - f(x)ll = ~ (lx+h f(t)dt) - /(x)ll
On en déduit que Fest dérivable en x, de dérivée f(x).